第173章 数学和物理的狂欢
    “感觉……他变得和以前不一样了。”
    观众席上，舒尔茨看着台上的萧易，不由得说了一句。
    旁边的法尔廷斯笑着问道：“哪里不一样了？”
    “嗯……哪哪都不一样的感觉。”舒尔茨说道。
    法尔廷斯笑了笑，转过头重新看向台上的萧易，说道：“概括点的来说，是他的身上多了一种真正的大师风范吧。”
    舒尔茨一愣：“大师风范？”
    法尔廷斯点点头，说道：“以前他的报告，开始的时候可不会有那样的闲聊，往往都会直接进入正题，而现在，他在面对我们这么多的听众，却有了闲聊的心思，说明他在面对咱们的时候，已经真正做到平静以待了，就像是咱们都是来听他传授真理的一样——虽然也确实如此。”
    “这样吗。”舒尔茨若有所思地点点头，说道：“毕竟，他都连质量间隙问题都给证明出来了，他当然算是大师了。”
    “那可不一定。”法尔廷斯摇摇头：“你觉得你算是大师了吗？”
    “我？”舒尔茨一愣，随后连连摆手，表示否认：“我怎么算是大师呢……”
    “算你还有自知之明。”法尔廷斯笑着道。
    舒尔茨的表情顿时一窘。
    “能够称得上大师，不仅要在成果上达到大师的境界，在数学史上，能做到这一点的人也只有那么几个，近些年，大概也就只有格罗滕迪克、塞尔那几人而已。”
    法尔廷斯说道：“而更重要的还是要在心性上转变过来，至少伱得在心中认可自己的能力，你才真正算的上是一位大师。”
    “你啊，还需要好好努力。”法尔廷斯拍了拍舒尔茨的肩膀：“当然，我还是很看好你的，毕竟我当初都已经在媒体面前夸下海口，说你是我最认可的三位数学家之一了，你可不要给我丢人啊。”
    舒尔茨表情郑重了起来：“我尽量不会让您失望。”
    法尔廷斯笑着点点头。
    不过舒尔茨这个时候又回了一句：“那么您觉得您算是大师吗？”
    “我？”
    面对这个相同的问题，法尔廷斯只是笑着摆摆手：“我是不算的。”
    然而，舒尔茨怎么看，都觉得法尔廷斯这个回答，只是出于谦虚罢了。
    和他刚才那种回答完全是两种类别。
    一时间他忽然明白了法尔廷斯刚才关于“大师的心性”这一说法。
    大概就像是他玩过的某款游戏中，有一个角色说过的一句话：真正的大师永远都怀着一颗学徒的心。
    “好了，安心听报告吧。”法尔廷斯这时候提醒了一句：“今天就可以亲眼看见，霍奇-顶点代数解析方法的真面目了，可真让人期待啊。”
    舒尔茨回过神，随后也重新将自己的注意力转移到了台上。
    而此时，萧易已然开始讲述起了他的证明过程。
    ……
    “无疑，想要证明质量间隙问题，是一个十分漫长的攻坚过程，需要探讨各种不同的角度。”
    “我从四个方向进行了尝试，首先是格点qcd，这个大家应该都很熟悉，一种数值模拟的方法，通过将时空离散化，可以很轻松的帮助我们验证质量间隙的存在，然而众所周知的原因，数值模拟并不能代替严谨的数学逻辑，也就无法转化为真正的数学证明。”
    “然后是schwinger-dyson方程，只要能够找到胶子的自能函数的非零解，这将间接证明质量间隙的存在。”
    萧易开始在黑板上演示起他在schwinger-dyson方程方法上的一些成果。
    最终，就在他取得了十分关键的进展后，却在最后因为这些解过于复杂，无法继续进行下一步，而不得不放弃。
    “然后还有重整化群方法，分析杨-米尔斯理论在不同能标下的行为，我发现了在重整化群流动中显示出一种非微扰固定点，提示可能存在一个质量间隙，但遗憾的是，想要解决这个问题的复杂度，仍然超出了想象。”
    “第四种方法，利用ads/cft对偶性，通过共形场论和反德西特空间的对偶关系来理解杨-米尔斯理论的非微扰性质，尽管它提供了一个新的视角，然而最终的复杂度也远远超出了可接受的范围。”
    看着萧易给出的这些方法的演示，让在场不少的人都是一阵瞠目结舌。
    其中的几乎每种方法都远远超出了他们的想象，也远远超过了学术界对这个问题的研究进展。而那些在现场的物理学家们，更是一阵汗流浃背，好家伙，这几种方法中所使用到的数学都几乎超出了他们的想象，饶是如此，竟然也无法解决？
    众人对于质量间隙问题的难度又有了进一步的认识。
    那么，萧易到底是如何解决的?“最终我瞄准了拓扑量子场论这一角度。”
    “杨-米尔斯理论具有丰富的拓扑结构，尝试从tqft进行突破，是一个很好理解的角度。”
    “而事实证明，我选择的这个角度也是正确的。”
    【对于s^4上的杨-米尔斯场a，其曲率形式f满足：f=da+a∧a.】
    【陈数c定义为：c=1/(8π^2)∫_s4tr(f∧f)】
    萧易转过头，开始在黑板上写了起来，同时说道：“入手之后，我便开始观察杨-米尔斯理论在四维球面上的表现，众所周知，这种四维球面空间在拓扑性质上非常的特殊。”
    “四维球面s^4是一个紧致的、无边界的四维流形，它具有着简单连通性的拓扑性质，同时还有着高阶同伦群的零化性质，这都让我们的分析能够变得稍微简单一些。”
    “所以我们将自然而然能够想到利用反自对偶场，以及霍奇对偶算子。”
    萧易的推导再度开始。
    而随着他在黑板上构造出了他口中的反自对偶场后，立马让在场的很多物理学者想起了当初萧易推导出来的x场，就是从这个反自对偶场中导出来的！意识到了这一点，他们顿时都是眼前一亮，总算是让他们发现了x场最初的起源，而仔细观察一下萧易给出的这些推导过程，也让他们更为清楚了x场的机制。
    一时间，他们都越发期待萧易最后的成果，究竟能够为理论物理学的研究提供多少帮助？
    毕竟这场报告的摘要中，萧易可是明确说明过，会说明结论在物理上的意义。
    就这样，数学家期待着霍奇-顶点代数解析理论，物理学家们期待着最终结论的物理意义，每个人都有光明的未来……
    “……最终，我们可以引出一个定理：设g是一个紧的、简单的李群，且a是定义在四维球面s^4上的一个杨-米尔斯场。如果存在一个非零的陈数c，则杨-米尔斯场a的最低能量激发态具有一个严格正的质量间隙。”
    “显然这个定理是等价于质量间隙问题的，因此，我们只需要证明它，也就证明了质量间隙的存在。”
    场下的听众们，顿时都屏住了呼吸，仔细观察着萧易给出的这个定理。
    “原来如此，他竟然将拓扑量子场论推导到了这种地步……”
    第一排的座位上，身为这场报告会主要听众之一的爱德华·威滕，膝盖上放着草稿纸，而他正在跟着萧易的讲述，在草稿纸上进行着推演。
    最后，他抬起头，看向萧易的目光中更为震撼。
    能够导出这个等价的关系，已经是几乎将整个过程中能用到的各种方法，同量子场论结合到了一种新的极致，其中对于技术的考量，远超他的想象。
    其中包含了他曾经研究出来的chern-simons理论，同时还有四维拓扑不变量、纤维丛理论等等一大堆的复杂数学方法。
    能够将这么多的方法掌握就已然相当难得了，就更不用说还要将它们全部融会贯通，并且用在推导质量间隙这种难度的问题上面了。
    作为一名顶尖的数学物理大师，威滕这回算是对萧易的数学能力有了更深的认识了。
    然而，都已经将方法用到此种地步，最终也只能导出这样一个等价的定理吗？接下来又该如何证明？应该就是那个已经传遍了的霍奇-顶点代数解析方法了吧？
    威滕的心中，也燃起了对这个方法的期待。
    而此刻，导出了这个定理后，台上的萧易转过头，朝现场的所有观众们微微一笑：“等价的关系已经被我们得出，接下来的问题，我们该如何证明这个定理呢？”
    随后，ppt也被他翻到了下一页。
    而这一页上面的内容，正是那个给萧易带来了灵感的霍奇标准猜想。
    “霍奇标准猜想，属于一系列关于代数簇上代数循环的猜想之一，与霍奇猜想有一定的联系，但相对来说要更加具体和技术性。”
    “大家现在可以观察一下这个猜想的陈述，思考一下我刚才给出的定理，是否能够找出一些联系？”
    萧易说到这里，然后就停了下来，从旁边拿起了自己的水杯喝了一口。
    场下的人，百分之九十以上都是一脸懵。
    不是吧，你真的让我们观察？
    是不是有点太看得起我们了，这玩意儿能观察出什么东西来？
    对于绝大多数的人而言，他们连这个猜想的陈述都看不懂。
    【对于一个定义在复数域上的非奇异射影代数簇x，考虑x的(p，p)-同调类中的代数循环z，定义一个由z诱导的算子l(z):h^m(x，q)→h^(m+2p)(x，q)，其中hm(x，q)是x上的第m阶同调群。猜想断言，对于适当的p，这个算子l(z)是正定的。】
    “你们看得懂吗？”
    台下，叶承等人所在的区域，他们看着萧易给出的这个东西，全部都是一脸懵逼。
    “看得懂个鬼啊？”
    陈木华深深地打了个哈欠。
    此时的他们，基本上都处于昏昏欲睡的状态中了。
    仿佛回到了当年那个高二炎热的下午，听着老师在台上讲着椭圆曲线的题目，而自己却已经是哈欠连连，恨不得直接睡过去。
    当然，对他们这些数学尖子生来说，当年老师讲的，他们也完全会，但现在面对萧易讲的，他们是真的懂不了一点了。“别想了，人家萧哥就不是让咱们来观察的，是让坐在前面的那些大牛们观察的。”卢平摆摆手，一脸平静的说道。
    对于他们而言，接受现实是最重要的。
    然而，话虽如此，其实对于坐在前排的那些大牛们而言，他们左看右看，也完全看不出来个什么啊？
    还有，萧易现在突然提出这个问题来，是想干嘛？莫非是要证明霍奇标准猜想？
    开什么玩笑！证明了质量间隙问题还不够，你还想顺便把证明霍奇标准猜想？要知道的是，在数学中还有很多猜想的难度都丝毫不亚于千禧年七大难题，而霍奇标准猜想就是其中之一，千禧年难题最重要的不仅仅是难，还在于它们解决了之后能够给学术界带来的价值。
    当然，萧易也没有一直等下去，喝了一口水后，他便继续开口道：“观察之后，我们可以很轻易地联系到霍奇理论中的一些工具。”
    “首先就是，霍奇分解，然后就是，顶点代数。”
    “霍奇分解是霍奇理论的核心概念之一，它将复代数簇上的德拉姆同调分解为(p，q)-型的部分，另一方面，顶点代数作为量子场论和代数几何的重要工具，可以用来描述共形场论中的代数结构。”
    “如果两者相结合，能够给我们带来什么呢？”
    萧易没有直接给出回答，而是开始在黑板上写了起来。
    “考虑一个复代数簇x，其德拉姆同调群hkdr(x，c)可以通过霍奇分解进行表示。”
    【hkdr(x，c)=_(p+q=k)h^(p，q)(x)】
    “顶点代数是一种代数结构，用于描述二维共形场论中的算子代数，设v为一个顶点代数，其包含的算子满足某些交换关系和局部性条件，特别地，顶点代数具有一个态空间v=_(n∈z)vn，其中vn是能级为n的子空间。”
    “现在我们考虑一个顶点代数v作用在霍奇结构的同调类上，具体来说，设v的算子作用在hp，q(x)上，定义一个映射。”
    【φ:vh^(p，q)(x)→h^(p′，q′)(x)】
    “其中 p′和 q′由顶点代数的算子特性决定。”
    写到这里，萧易转头微微一笑：“通过这种构造，可以将霍奇结构与顶点代数的框架结合起来，如此，即是霍奇-顶点代数构型。”
    “但下面又出现了一个问题，我们该如何使用这个构型呢？”
    “如果无法使用，它即使结合起来，也终究只能像是空中楼阁一样，没有什么实际意义。”
    “所以，这个时候，我们就要运用模空间，同时还要引入霍奇结构类。”
    “考虑x的模空间m，其上的点对应于某种几何对象，比如如向量丛、代数簇等等的等价类，而这时候，我们再使用刚才的霍奇-顶点代数构型，就可以研究模空间上的霍奇结构了！”
    【h^k_(global)(m，c)=_(p+q=k)h(p，q)_(global)(m).】
    当萧易写到了这里时，观众席中，已然是一片波澜了。
    见到萧易给出的这些过程，那些数学家们，心中完全无法平静。
    这个就是霍奇-顶点代数解析法？如此绝妙的推导，还有这个方法的作用……
    几乎是将霍奇理论中的数个工具都给完全打通了？
    还有现在给出的模空间……
    此刻他们的心中只能意识到，代数几何要变天了。
    普林斯顿等一众学者们的位置上，德利涅此时整个身子都往前倾斜了不少，仿佛想要将黑板上的推导过程看得更加仔细一些，就差没有直接站起来，走到黑板旁边了。
    “这个方法……这个方法……如果当年我能够用它来证明韦伊猜想的话……”德利涅说道：“老师他应该就会满意了吧？”
    “你的意思是说，用这个方法也能够用来证明韦伊猜想？”
    德利涅的旁边，邦别里顿时吃惊地问道。
    “那是当然，而且……”德利涅喃喃道：“能够让我摆脱掉其他附加结构，实现对韦伊猜想的纯粹代数几何证明。”
    邦别里倒是明白德利涅这么说的意思。
    韦伊猜想作为代数几何中最重要的猜想之一，当年一大堆最顶尖的数学家们都在尝试着解决这个问题。
    在那人类群星闪耀的时间，安德烈·韦伊、亚历山大·格罗滕迪克、让-皮埃尔·塞尔、迈克尔·阿蒂亚等等，当然还有他眼前的这位皮埃尔·德利涅，都为韦伊猜想的证明做出过努力。
    而最后，德利涅成为了最终摘得桂冠的数学家，并且因此而获得了菲尔兹奖。
    只不过，德利涅的老师，格罗滕迪克对于他的证明并不是很满意。
    因为格罗滕迪克本身就一直提倡用那些非常抽象和一般化的方法来处理问题，让证明更加的纯粹，以及高度地普适性和优雅性。
    而德利涅的证明方法，却使用了更多的更加具体和技术性的手段，包括利用l-进同调和单值化理论等等，在格罗滕迪克看来，这种方法更像是“修补”或者“巧妙的技巧”，而不是展示了理论的内在力量和美感。
    对此，只能说格罗滕迪克有着自己独特的数学哲学理念，是别人难以想象的。
    面对老师的不满意，也终究让德利涅对此感到有些委屈，这些年来也一直尝试过用格罗滕迪克的那种想法来证明。
    只可惜，一直到格罗滕迪克去世，他也未曾成功过。
    哪怕是直到现在，数学界也从来没有人能够实现这一点。
    然而如今……
    邦别里看着萧易在黑板上给出的方法，目光中越发的震撼。
    如果连这都能实现的话，那么对于代数几何学来说，真的要变天了啊。
    同样的情绪，也发生在在场众多学者的身上。
    法尔廷斯的表情十分严肃，无比认真地看着萧易的推导，而旁边的舒尔茨则是震撼以及不可思议，霍奇理论作为几乎是代数几何中最重要的数学工具之一，对于代数几何研究可以说做出了无比重要的贡献。
    而现在……萧易的这个方法，不仅让霍奇理论变得更加凝练，更是能够将其通过和顶点代数的结合，实现更为重要的作用。
    特别是顶点代数本身能够用于研究朗兰兹纲领，比如结合仿射李代数与w代数、结合顶点算子代数和自守形式，又或者是联系s-对偶性与朗兰兹对偶性等等。
    舒尔茨忍不住叹道：“这家伙……这是在创造奇迹吗？”
    ……
    数学家们为这个理论而惊叹中的时候，那些数学物理学者们同样平静不下来。
    顶点代数原本是起源于物理学，最后又被学者们发现它在纯数学中也能发挥无比重要的作用，这也是为什么物理学同样能够推动数学发展的关键。
    但对于这些数学物理学者们来说，他们更关心的是，如今结合了霍奇理论的顶点代数，将能够为他们的理论物理研究带来多么巨大的助力！
    所以此时的他们，心中的激动，丝毫不比那些数学家们要少。
    大概，全场只有台上的萧易，语气上仍然一如既往，仿佛并不知道他所讲的东西，将给两个学界带来多么重大的影响力。
    此时的他，正在为最后的证明，进行着收尾工作。
    “……最后，利用霍奇-顶点代数解析方法，我们也就可以轻松地证明前面我所提出的定理。”
    “在g上存在这样一个非零陈数c，因此，也就等价于杨-米尔斯场a的最低能量激发态具有一个严格正的质量间隙。”
    “至此。”萧易张开了手，说道：“我们便完成了对杨-米尔斯存在性和质量间隙问题的证明。”
    说完，他顿了顿。
    而台下的学者们，仿佛没反应过来一样，安静无比。
    不过，萧易只是一笑，随后继续说道：“在最后，根据霍奇-顶点代数解析法，我们还可以轻松地将霍奇结构推广至量子场论中。”
    他在黑板上简单地演示了两下，很快，就轻易地完成了这一步。
    不过，至此还没完，他又往下推导了几步，而这几步，就直接让场下的物理学家们坐不住了。
    这是一个新粒子的表达式！
    “没错，通过这个新的方法……嗯，我将它称之为量子霍奇理论，我们可以轻易地推导出一个全新的粒子。”
    “可以看出，它和x场是同源的，因此，我暂且将它命名为x粒子，至于未来能否发现它，则还需要实验物理学界的努力了。”
    语气十分轻松地说完最后这句话，然后，萧易就放下了手中的黑板笔，然后转过头，走到了台前。
    “那么，我的报告，就到此结束。”
    “感谢各位的耐心。”
    萧易绅士地鞠躬。
    全场的气氛犹如窒息般宁静了片刻，而后便爆发出热烈的掌声。
    仿佛要掀翻这个大会厅的天花板。
    数学家和物理学家们激动地站起身，向萧易送上了他们全部的热情。
    他们都已经可以看到，这场报告，将成为数学和物理学的狂欢！